Wartość pieniądza w czasie

Wartość pieniądza w czasie - strona internetowa

I Liceum Ogólnokształcące im. Stanisława Staszica w Chrzanowie ogłasza
XVII Powiatowy Konkurs Matematyczny
„Wartość pieniądza w czasie ”
 
 
 
 
     Konkurs zostanie zorganizowany 12 kwietnia 2018 roku, w sali 44 o godzinie 9.20. Organizatorką i pomysłodawczynią konkursu jest Iwona Małocha – nauczycielka matematyki. Pierwsza edycja konkursu odbyła się w 2002 roku. Do udziału w konkursie zapraszamy uczniów z całego powiatu chrzanowskiego. Celem konkursu jest zachęcenie uczniów do samodzielnego studiowania pojęć wykraczających poza obowiązujący materiał nauczania matematyki, a bardzo przydatnych w życiu codziennym. Termin zgłoszenia uczestników upływa 5 kwietnia 2018  roku o godzinie 24.00. Prosimy nauczycieli matematyki o wysłanie listy osób chętnych do wzięcia udziału w konkursie na adres: iwonamalocha@wp.pl.
 
Treść zadań konkursowych obejmuje następujące zagadnienia:
oprocentowanie proste,
oprocentowanie składane,
kapitał początkowy,
liczba lat oprocentowania,
stopa procentowa,
oprocentowanie składane z kapitalizacją odsetek ciągu roku,
efektywna stopa procentowa,
rachunek dyskonta,
dyskontowanie proste,
dyskontowanie składane,
koszt kredytu.
 
Konkurs ma charakter jednorazowego sprawdzaniu znajomości wymienionych pojęć i ich zastosowania. Uczniowie rozwiązują zadania w trzech kategoriach wiekowych: 
 
klasa pierwsza liceum,
klasa druga liceum,
klasa trzecia gimnazjum.
 
Z jednej szkoły można zgłosić trzech uczniów
.
 
W czasie konkursu można korzystać prostego kalkulatora, ale nie wolno korzystać z tablic matematycznych.
Komitet organizacyjny, któremu przewodniczy dr Bożena Bierca- dyrektor I LO przewiduje nagrody
i wyróżnienia. Patronat nad konkursem sprawuje Starosta Powiatu Chrzanowskiego.
 
                                                                                        Iwona Małocha

Przykładowe zadania

Konkurs w roku 2009
Zad.1. Pewnej firmie zlecono wykopanie studni o głębokości 30m . Za wykopanie pierwszego metra proponowano 54 zł, a za każdy następny o 5 zł 75 gr więcej niż za poprzedni. Firma jednak nie przystała na te warunki i zaproponowała, aby za pierwszy metr zapłacono jej 1 grosz, a za każdy następny dwa razy więcej niż za poprzedni. Zleceniodawca chętnie na to przystał. Czy jednak opłacała mu się to umowa. 
Zad.2. Bartek wpłacił do pewnego banku 10000 zł. Po dwóch latach, w ciągu których ani nie dopłacał , ani nie podejmował pieniędzy, odebrał kwotę 12100 zł. Jakie było oprocentowanie w tym banku? 
Zad.3. Ulokowałeś 100 zł na rachunku bankowym na okres czterech lat z kapitalizacją odsetek po roku. W ciągu tego okresu następowały zmiany rocznej stopy procentowej, które były odpowiednio równe : 5%, 4%, 3%, 2%. Jaka była wartość twojej lokaty na koniec okresu oszczędzania? ( Nie uwzględniaj podatku dochodowego). 
Zad.4. Kredytobiorca pobrał kredyt w wysokości 2000 zł w banku, w którym oprocentowanie roczne wynosi 24%. Chce ten kredyt spłacić w ciągu roku w dwunastu miesięcznych, równych ratach. Oblicz wysokość jednej raty z dokładnością do jednego złotego. 
Zad.5. W pewnym konkursie przyznano kilka nagród za łączną sumę 1476 zł. Pierwsza nagroda była w wysokości 500 zł, a każda następna stanowiła pewien stały ułamek poprzedniej. Ile przyznano nagród w tym konkursie i jakiej były one wysokości, jeśli ostatnia nagroda wynosiła 256 zł? 
Zad.6. Chcesz wziąć na trzy miesiące kredyt 1000 zł, oprocentowany 12% w stosunku rocznym. Bank za gotowość i uruchomienie kredytu pobiera jednorazową opłatę w kwocie 2,5% wartości udzielonego kredytu. 
a) Jaką kwotą będziesz dysponował, gdy bank uruchomi kredyt?
b) Oblicz wielkość raty R, którą będziesz spłacał kredyt, jeżeli chcesz, by raty były takiej samej wielkości.
c) Oblicz koszt zaciągniętego kredytu.
Zad.7. Pracodawca postanowił dodatkowo ubezpieczyć swojego pracownika w funduszu emerytalnym i wpłacał każdego miesiąca 100 zł. Fundusz ten gwarantował stałe oprocentowanie w stosunku rocznym 6%. Kapitalizacja odsetek następowała na koniec każdego miesiąca. Oblicz, jaki kapitał był na koncie pracownika po dwudziestu latach. 

Zad.8. W pewnej firmie w grudniu każdy pracownik otrzymał premię. Na wykresie pokazany jest rozkład przyznanych premii. 
a) Oblicz średnią wysokość premii.
b) Wiedząc, ze łączna wartość najwyższych premii była równa 9000 zł, oblicz liczbę osób zatrudnionych w tej firmie oraz łączną kwotę pieniędzy przeznaczonych na wypłatę premii. 

Zad.9. Załóżmy, że wpłaciliśmy na konto pewna kwotę, różnie oprocentowaną w stosunku rocznym, np.: 1%, 2%, 3%, 4%, 5% z kapitalizacja odsetek po roku. 
a) Czy w ciągu 10 lat oszczędzania masz szansę podwoić swoje wkłady?
b) Czy w ciągu 20 lat oszczędzania masz szansę podwoić swoje wkłady?
Fragment tabeli. Wartość 1 złotego, umieszczonego przez n lat na procencie składanym 
 
Konkurs w roku 2008
Zad.1.(6p) Pan Nowak kupił samochód na raty i dysponuje pewną kwotą pieniędzy p . Ponieważ otrzymał podwyżkę, postanowił do kwoty p dodawać : w pierwszym miesiącu 270 zł, a w każdym następnym miesiącu o 20 zł więcej niż w poprzednim. Już w pierwszym miesiącu pan Nowak kupił samochód i w tym miesiącu zaczął spłacać raty. Każda rata pomniejszała stan gotówki pana Nowaka o 420 zł.
a) Oblicz, jaką najmniejszą kwotą p powinien dysponować pan Nowak, aby nie zabrakło mu w żadnym miesiącu pieniędzy na wpłacenie raty za samochód.
b) Po ilu miesiącach pan Nowak będzie dysponował najmniejszą kwotą pieniędzy? Odpowiedź uzasadnij.

Zad.2. (6p) Państwo Kowaczykowie mają 5000 zł ulokowane na koncie w banku i zamierzają część tych pieniędzy przeznaczyć na zakup mebli, a pozostałą kwotę pozostawić na koncie. Bank gwarantuje przez najbliższe dwa lata stałe oprocentowanie konta w wysokości 8% w skali roku oraz naliczanie i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego kwartału. Meble można nabyć, wpłacając jednorazowo kwotę 4000 zł albo dokonać zakupu na raty. Kupując na raty, należy przy odbiorze mebli wpłacić 2000 zł, a sześć rat, po 350 zł każda, powinno być zapłaconych niezwłocznie po upływie kolejnych kwartałów. Zbadaj, przy którym sposobie płacenia za meble państwo Kowalczykowie mieliby na koncie po 18 miesiącach od momentu zakupu mebli więcej pieniędzy i o ile więcej. Przyjmij założenie, że w przypadku wypłacania pieniędzy z konta bank nie zmienia warunków oprocentowania. Odpowiedź uzasadnij, przeprowadzając odpowiednie obliczenia, wyniki podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Zad.3.(6p) Nowy zakład produkcyjny w pierwszym roku działalności miał 24500 zł zysku, przy 41000 zł nakładów. W każdym następnym roku zyski zwiększały się o 6000 zł, a nakłady zmniejszały się o 5000 zł. Po ilu latach suma nakładów była równa sumie zysków?
 
Konkurs w roku 2007
Zad.1.(4p) W sklepie mamy do wyboru: kupić zmywarkę, wartą 3200 zł za gotówkę, albo dokonać wpaty 200 zł i potem płacić 24 raty miesięczne po 140 zł. Zakładając, że roczna stopa procentowa w banku udzielającym kredytu ratalnego wynosi 12% oraz, że odsetki kapitalizowane są miesięcznie, oceń który ze spospbów zakupu jest korzystniejszy dla kupującego. Odpowiedź uzasadnij. Nie uwzględniaj podatku od lokat bankowych.
Zad.2.(4p) Roczny procent przyrostu zysku zakładu z produkcji w pierwszym roku był równy a%, a w drugim b%. Wyznacz c% wzrostu zysku z produkcji w trzecim roku tak, aby średni przyrost zysku w ciągu trzech lat był równy p%. 
Zad.3.(4p) Nowy zakład produkcyjny w pierwszym roku działalności miał 24500 zł zysku, przy 41000 zł nakładu. W każdym następnym roku zyski zwiększały się o 6000 zł, a nakłady zmniejszały się o 5000 zł. Po ilu latach suma nakładów była równa sumie zysków? 
Zad.4.(4p) Zaciągnięto nie oprocentowaną pożyczkę w kwocie 416000 zł, którą należy spłacić w miesięcznych ratach. Ustalono wysokość rat: pierwsza rata 11000 zł, a każda następna ma być większa od poprzedniej o 2000 zł. Oblicz wysokość ostatniej raty. W ilu ratach będzie spłacana ta pożyczka? 
Zad.5.(4p) Bank proponuje wpłacenie pewnej sumy ( jednorazowo ). W zamian będzie wypłacał co rok ( dożywotnio nam, potem naszym dzieciom, wnukom itd.) 1000 zł. Jaką kwotę można wpłacić, aby taka umowa była korzystna dla wpłacającego, jeśli stała stopa procentowa wynosi 5%, zaś bank kapitalizuje odsetki w skali rocznej? Odpowiedź uzasadnij. 
Zad.6.(4p) Ustalono, że spłata zaciągniętego długu ma rozpocząć się po roku. Dłużnik może wybrać jednorazową spłatę 30000 zł, albo w trzech różnych ratach rocznych: pierwsza 18000 zł, druga 7000 zł i trzecia 9000 zł. Zbadaj, która forma spłat jest korzystniejsza dla dłużnika, przy stopie procentowej 30% w skali roku. 
Zad.7.(4p) Kredyt wartości P zł ma być spłacony w ratach P1, P2,..., Pn płaconych w równych okresach czasowych przy dostosowanej stopie procentowej i za jeden okres czasowy ( i jest wyrażone w postaci ułamka dziesiętnego ). Wysokość P kredytu wyznacza się tak, aby przy podanym oprocentowaniu zysk z zainwestowania kwoty P na n okresów był taki sam, jak suma zysków z zainwestowania kwot P1, P2, ..., Pn na odpowiednio n-1, n-2,..., 1 okresów czasowych. Określ zależność kredytu P od kwot rat: P1, P2,..., Pn. 
Zad.8.(4p) W maju wytwórnia osiągnęła średnio 30% zysku w stosunku do kosztów produkcji. Z ogólnej liczby sztuk towaru, wyprodukowanego w maju, 20% sprzedano z zyskiem 50%, zaś 50% z zyskiem 40%. Oceń, czy sprzedając pozostałą część towaru wytwórnia zyskała, czy straciła w stosunku do kosztów produkcji. 
Zad.9.(4p) Ustal wysokość kredytu ( w zaokrągleniu do pełnych dziesiątek ) oprocentowanego 2% miesięcznie i spłacanego w 12 miesięcznych ratach po 100 zł. 
Zad.10.(4p) Pożyczka na budowę domu w wysokości 40000 zł jest spłacana w 20 równych ratach rocznych. Każdego roku od nie spłaconej kwoty bank pobiera 20% odsetek. Oblicz wysokość raty rocznej.
 
Konkurs w roku 2006
Zad.1. Wykazać, że wartość łącznego dyskonta dla czterech lat przy oprocentowaniu 8% jest sumą obecnych wartości 1 zł, obliczonych dla każdego roku oddzielnie.
Zad.2. Ustalić wysokość rocznej spłaty kredytu hipotecznego udzielonego w kwocie 300 tys. zł na 15 lat. Oprocentowanie kredytu wynosi 15% w stosunku rocznym. Jakiej wysokości kapitał jest zaległy po 2 latach splacania tego kredytu? 
Zad.3. Należy oszacować wartość prawa własności przy założeniu, że wysokość czynszu dzierżawnego przez pierwsze trzy lata będzie wynosiła 28 tys. zł. Nieruchomość będzie wydzierżawiona ponownie na 40 lat za roczną wysokość czynszu równą 36 tys. zł. Rynkowa stopa procentowa dla prawa własności równa się 10%. 
Zad.5. Korzystając z poniższych danych, obliczyć wartość budynku i ogólną wartość nieruchomości: 
-Roczny dochód netto z nieruchomości -12 tys. zł 
-Wartość gruntu - 15 tys. zł 
-Stopa kapitalizacji dochodu z gruntu Rg - 8% 
-Stopa kapitalizacji dochodu z budynku Rb - 5,2% 
Zad.6. Jaka jest aktualna wartość nieruchomości (Vn), z której przewidywany dochód netto otrzymywany na koniec każdego roku przez następne 4 lata wynosi 4,4 tys. zł i nieruchomość może być odsprzedana w końcu czwartego roku za 100 tys. zł? Akceptowana przez nabywców wysokość stopy dyskontowej jest równa 10%. 
Zad.7. Oszacować wartość dochodową lokalu handlowego, dysponując następującymi danymi i ustaleniami: 
- powierzchnia użytkowa lokalu=212 metrów kwadratowych, 
- właściciel lokalu zawarł umowę dzierżawną na okres t=3 lata, 
- dochód właściciela zakłada się jako stały w tym okresie i będzie wynosił miesięcznie d1=1,6 tys. zł, 
- w 3 roku właściciel wykona na własny koszt wymianę i modernizację instalacji, której koszt będzie wynosił k=12,00 tys. zł, 
- po modernizacji, licząc od 4 roku, czynsz dzierżawny (dochód) będzie stały i będzie wynosił miesięcznie d2=1,5 tys. zł, 
- stopa dyskontowa dochodów r1= 15%, -stopa dyskontowa kosztów modernizacji r2=20%. 
Zad.8. Nieruchomość A może być nabyta za 100 tys. zł, a koszty tej transakcji będą wynosiły 8 tys. zł. Obecnie jest ona wynajęta na następne 4 lata za 11 tys. zł rocznego czynszu, stanowiącego dochód netto dla jej właściciela. Potencjalny nabywca oczekuje, że po czterech latach sprzeda tę nieruchomość za 140 tys. zł, a przewidywane koszty sprzedaży szacuje na 6 tys. zł. Oszacować, czy jest to atrakcyjna oferta dla nabywcy, jeśli inwestorzy akceptują 12-procentową stopę dyskontową dla przyszłych wpływów i wydatków. 
Zad.9. Obliczyć, ile wyniesie na koniec drugiego roku wartość kapitału początkowego równego 2 tys. zł przy założeniu dwóch wartości rocznej stopy procentowej : 
- 10%, 
- 12% 
oraz trzech różnych częstotliwościach kapitalizacji odsetek: 
- rocznej, 
- półrocznej, 
- kwartalnej.
 

 
XVI POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY
„ Wartość pieniądza w czasie ”


Zad.1. (3p) Bank oferuje lokatę terminową, przy czym stała roczna stopa wynosi 4.4%. Wpłacamy na taką lokatę 5000 zł. Ile procent kwoty otrzymanej po pięciu latach przy rocznej kapitalizacji odsetek będzie stanowiła analogiczna kwota przy kwartalnej kapitalizacji odsetek ? Wynik podaj z dokładnością do 0,01 %. Nie uwzględniaj podatku od odsetek lokat bankowych.

Zad.2. (4p) Bank proponuje klientowi wpłacenie pewnej sumy ( jednorazowo). W zamian będzie wypłacał co rok ( jemu dożywotnio, potem jego dzieciom, wnukom itd.) 1000 zł. Jaką kwotę klient musi wpłacić, aby taka umowa z klientem była korzystna dla banku, jeśli stała roczna stopa procentowa wynosi 4,8%, zaś bank kapitalizuje odsetki w skali rocznej ? Wynik podaj z dokładnością do 0,01 zł. Odpowiedź uzasadnij. Nie uwzględniaj podatku od odsetek lokat bankowych.

Zad.3.(5p) W sklepie mamy do wyboru: kupić cyfrowy aparat fotograficzny, warty 1400 zł, za gotówkę, albo dokonać wpłaty 300 zł i potem płacić 12 rat miesięcznie po 93 zł. Zakładając, że roczna stopa procentowa w banku udzielającym kredytu ratalnego wynosi 7,2% oraz, że odsetki kapitalizowane są miesięcznie, oceń, który ze sposobów zakupu jest korzystniejszy dla kupującego. Odpowiedź uzasadnij. Nie uwzględniaj podatku od odsetek lokat bankowych.

Zad.4.(5p) Pudełko w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 96 cm3 ma zostać wykonane z dwóch rodzajów materiału. Materiał na dolną podstawę kosztuje 200 zł/m2, zaś materiał na górną podstawę i ściany boczne – 100 zł/m2. . Jakie wymiary powinno mieć pudełko, aby koszt jego wykonania był jak najmniejszy ? Ile wyniesie koszt materiału potrzebnego na jego wykonanie ?

Zad.5. (4p) Mały zakład krawiecki szyje koszule męskie i bluzki damskie. Wykonanie koszuli męskiej zajmuje krawcowi 3 godziny, zaś wykonanie bluzki damskiej – 2 godziny. Koszt uszycia bluzki damskiej wynosi 30 zł, a koszuli męskiej – 40 zł. Zakład chce wyprodukować w ciągu tygodnia koszule i bluzki za łączną kwotę nie przekraczającą 580 zł. Swoje wyroby właściciel zakładu będzie sprzedawał z zyskiem, który w przypadku koszuli wynosi 25 zł, zaś w przypadku bluzki 18 zł. Ile koszul męskich, a ile bluzek damskich powinien wyprodukować w tygodniu ten zakład, jeśli pracuje przez 5 dni po 8 godzin dziennie, aby osiągnąć jak największy zysk. Jaki to będzie zysk ?

Zad.7. (3p) Nektarynki i brzoskwinie kosztują tyle samo. Jeśli nektarynki zdrożeją o 4%, a brzoskwinie o 8% to o ile zdrożeje koszyk zawierający 2 kg nektarynek i 2 kg brzoskwiń ?

Zad.8.(3p) Właściciel firmy chcąc obniżyć koszty utrzymania biura wprowadził dwie zmiany personalne, które obniżyły wydatki kolejno o 20% oraz o 25% i ograniczył prywatne rozmowy telefoniczne pracowników, co obniżyło koszty o kolejne 45%. Zakładając, że przed zmianami koszt utrzymania biura wynosił p [zł] oblicz, ile złotych zaoszczędził właściciel firmy.

Zad.9.(4p) Magda podjęła prace wakacyjną w drogerii. Zaproponowano jej stawkę dzienną w wysokości 15 złotych plus 1 zł 20 gr, za każdy sprzedany kosmetyk, niezależnie od jego wartości. Magda pracowała w sklepie przez 20 dni.
a) Podaj wzór opisujący wysokość jej pensji p [zł] w zależności od liczby k sprzedanych kosmetyków i określ dziedzinę tej funkcji.
b) Ile co najmniej kosmetyków sprzedała Magda, jeśli jej wynagrodzenie było wyższe niż 420 zł ?

Zad.10. (5p) Ojciec chce umożliwić swojemu synowi płatne studia, wpłacając jednorazowo do banku pewną sumę pieniędzy, z których bank będzie wypłacał stypendium. Pierwsza wypłata nastąpi w rok po wpłaceniu pieniędzy, a następne po upływie każdego kolejnego roku, w sumie pięć wypłat po 9000 zł każda. Czy do ufundowania takiego stypendium wystarczy wpłacenie przez ojca 42000 zł, jeśli roczna stopa procentowa w banku wynosi 2,4%, a bank stosuje roczną kapitalizację odsetek ?
Nie uwzględniaj podatku od lokat bankowych.

Zad.11. (3p) Pan Kowalski pożyczył od swojego brata pewną sumę pieniędzy potrzebną na zakup nowych części do samochodu. Zobowiązał się do zwrotu pożyczki w dziesięciu równych ratach, z których każda była o 60 zł większa od poprzedniej. Ostatnia rata wynosiła 640 zł. Oblicz wysokość pierwszej i szóstej raty oraz kwotę pożyczoną przez Kowalskiego.

Zad.12. (5p) Posiadasz portfel w skład którego wchodzą 3 obligacje o wartości nominalnej 100 zł, cenie 110 zł, terminie wykupu 2 lata, oprocentowaniu 10%, odsetki płacone co roku oraz 5 obligacji o wartości nominalnej 100 zł, cenie 91,67zł, terminie wykupu 1 rok, bez odsetek. Oblicz wewnętrzną stopę zwrotu.

Zad.13.(4p) Czy kupił(a)byś za 120 zł obligację o wartości nominalnej 200 zł i terminie wykupu 3 lata, jeśli wiesz, że jej oprocentowanie wynosi 2,5% rocznie ?
Stopa lokaty bankowej 5%, a stopa ryzyka 7%.

zamknij